Оглавление.
Возврат на страницу "МАТЕМАТИКА."

19. Функции комплексной переменной.

19.6. Интегрирование функций комплексной переменной. Интегральная теорема Коши.

        19.6.1. Интеграл от ФКП.
        19.6.1.1. Определение
. Пусть на комплексной плоскости С задана ориентированная кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция w = f(z). Разобьём кривую точками z0 = A, z1, z2, …, zn = B на n частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку tk, найдём f(tk) и составим интегральную сумму . Предел последовательности этих сумм при n → ∞, max|Δ z k| → 0 (k = 1, 2, ..., n), если он существует, не зависит ни от способа разбиения кривой на дуги, ни от выбора точек tk, называется интегралом от функции w = f(z) по кривой L и обозначается .
        Теорема.
Если функция w = f(z) непрерывна на кривой L, то она интегрируема по этой кривой.
        Док-во.
Распишем действительные и мнимые части всех величин, входящих в интеграл: z k = x k + iy k, f( z) = u(x, y) + iv(x, y), t k = ξ k + iζ k, Δzk = zkzk -1 = (xk + iyk) − (xk -1 + iyk -1) = (xkxk -1) + i(ykyk -1) = Δx k + iΔy k, тогда f(t k)·Δz k = (uk, ζk) + i vk, ζk))(Δxk + i Δyk) = (uk, ζ kk)·Δx kvk, ζk)·Δy k) + i (uk, ζk)·Δy k + vk, ζk)·Δx k), и сумма
разобьётся на две . Каждая из этих сумм - интегральная сумма для действительных криволинейных интегралов второго рода, соответственно, и . Если L - кусочно-гладкая кривая, w = f(z) - непрерывна (тогда непрерывны её координатные функции u(x, y) и v(x, y)), то существуют пределы этих сумм при max|Δzk| → 0 (k = 1, 2, 3, ..., n) - соответствующие криволинейные интегралы, следовательно, существует , и .
        19.6.1.2. Свойства интеграла от ФКП.
Мы доказали, что выражается через два действительных криволинейных интеграла второго рода, поэтому он обладает всеми свойствами этих интегралов:
        1. - произвольные комплексные постоянные);
        2. - кривые без общих внутренних точек):
        3. - кривая, совпадающая с L, но проходимая в противоположном направлении;
        4. Если
l - длина кривой L, | f( z)| ≤ M при zL, то
.
        19.6.2. Интегральная теорема Коши.
Это одна из основных теорем теории ФКП.
        19.6.2.1. Теорема Коши для односвязной области.
Если
D - односвязная ограниченная область, w = f( z) - аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от f(z) по L равен нулю: .
        Доказательство.
Удивительно, но эта важнейшая теорема непосредственно и просто следует из условий Коши-Римана и формулы Грина. Так как, по доказанному выше, , то, применяя к действительным криволинейным интегралам формулу Грина, получим вследствие условий Коши-Римана . Символом G в доказательстве обозначена область, заключённая внутри контура L.
        Следствие.
Для всех кусочно-гладких кривых, лежащих внутри области D, в которой аналитична функция w = f(z), и имеющих общие начальную и конечную точки, интеграл имеет одинаковое значение.
        Доказательство полностью повторяет доказательство Теоремы 1 раздела
16.3.3.5.1. Объединение L1L2 кривых - замкнутый контур, поэтому .
        Оказывается, что справедлива и обратная теорема Морера: если функция
w = f(z) непрерывна в односвязной области D и интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру, лежащему в D, равен нулю, то функция аналитична в области D.
        19.6.2.2. Теорема Коши для многосвязной области.
Если функция w = f(z) аналитична в замкнутой многосвязной ограниченной области , ограниченной контурами L0 (внешняя граница), L1, L2, …, Lk, то интеграл от f(z), взятый по полной границе области , проходимой так, что область остаётся с одной стороны, равен нулю.
        Доказательство
и здесь воспроизводит доказательство формулы Грина для многосвязной области. Рассмотрим случай, когда граница области
(на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура L0 и внутренних контуров L1 и L2. Соединим контур L0 разрезом FM с контуром L1, разрезом BG - с контуром L2. Область с границей односвязна, поэтому для неё справедлива интегральная теорема Коши: . Интегралы по каждому из разрезов входят в этот общий интеграл дважды в противоположных направлениях и, как следствие, взаимно уничтожаются, поэтому остаются только интегралы по контурам, проходимым так, что область остаётся с одной стороны.
        В дальнейшем нам понадобится другая формулировка этой теоремы. Буквами без верхнего индекса будем обозначать контуры, проходимые против часовой стрелки, с верхним минусом - по часовой. Мы доказали, что
. Таким образом, интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам, при этом все контуры обходятся в одном направлении.
        19.6.3. Первообразная аналитической функции.
Если функция
w = f(z) аналитична в односвязной области D, то, как мы доказали, интеграл по кривой зависит только от начальной и конечной точек и не зависти от формы кривой. Если зафиксировать начальную точку z0, то интеграл будет зависеть только от конечной точки z, поэтому можно написать . Можно доказать (также, как мы доказывали существование потенциальной функции в односвязной области при выполнении условия ∂Q/ ∂x = ∂P/ ∂y), что справедлива следующая
        Теорема.
Для любой аналитической в области
D функции f(z) интеграл является аналитической в D функцией, и F’(z) = f(z).
        Любая функция Ф(
z) такая, что Ф(z) = f(z), называется первообразной функции f(z). Любые две первообразные отличаются не более, чем на постоянную, поэтому , откуда при z = z0 получаем C = Ф(z0), или . Таким образом, для аналитических функций справедлива формула Ньютона-Лейбница, и основные приёмы интегрирования, например: .

 

Оглавление.
Возврат на страницу "МАТЕМАТИКА."